Модели ценообразования опционов

Модель Блэка-Шоулза

 

Модель Блэка-Шоулза считается наиболее распространенной моделью ценообразования опционов – гипотеза авторов заключается в том, что если базисный актив торгуется на рынке, то и цена самого опциона на базисный актив диктуется рынком. Такая модель применима для оценки не только опционов, но и производных бумаг (например, варрантов) и собственного капитала фирмы.

 

Блэк и Шоулз считали, что основным фактором ценообразования выступает будущая волатильность базиса опциона. Цена на опцион возрастает и падает прямо пропорционально стоимости базисного актива. Для вычисления цены опциона была создана формула, что явилось революционным шагом для 70-х годов – прежде математический подход к оценке деривативов не использовался:

 

 

С помощью такой формулы рассчитывается стоимость опциона Call. Стоит пояснить, что означают переменные в этом уравнении: S – цена базового актива, N – вероятность того, что отклонение в условиях стандартного распределения будет меньше (для расчета N можно использовать Excel – функция НОРМСТРАСП), K – цена, по которой опцион будет реализован на дату экспирации, r – безрисковая ставка, T-t – время, оставшееся до даты экспирации.

 

Для расчета стоимости опциона Put используется та же формула, только вычитаемое и уменьшаемое меняются местами.

 

 

Биноминальная модель

 

 

Биноминальная модель имеет в основе предположение, что цена опциона может принимать одно из двух значений: U – минимум и D – максимум. Основной формулой для расчета стоимости опциона выступает следующая:

 

 

Для расчета переменных используется ряд вспомогательных формул:

 

 

Уточним, что S0 – это стоимость базисного актива на дату приобретения опциона, следовательно, показатели d и u – это цены максимум и минимум опциона, приведенные к первоначальной стоимости базиса. Переменная E – цена, по которой опцион будет реализован в дату экспирации, t – весь период существования опциона (от покупки до экспирации) – измеряется t в годах.

 

Биноминальная модель позволяет произвести оценку опциона в любой момент времени до срока реализации опциона, чем и отличается от модели Блэка-Шоулза. Поэтому биноминальная модель используется для оценки американских опционов (которые инвестор может закрыть в любой момент), а модель Блэка-Шоулза – для европейских опционов.

 

Модель Монте-Карло

 

Модель Монте-Карло предполагает оценку математического ожидания выплаты по всей истории базиса. Такая модель считается одной из самых сложных и используется тогда, когда остальные модели неприменимы.

 

Суть модели можно объяснить на примере игрального кубика. Математическое ожидание числа очков на кубике, вычисленное способом суммирования значений, составит 3.5. Если мы бросим кубик, допустим, 1000 раз и посчитаем среднее, то получим близкое значение, например, 3.505 или 3.497. При том чем больше бросков (применяется термин «итерации»), тем выше точность. Так же и с опционами – инвестору следует сгенерировать как можно большее число итераций цен базиса и посчитать среднее. Расчет будущей цены происходит по формуле:

 

Основы опционов

Для начала кратко о сути и ценообразовании опционов. Опцион имеет четыре основных параметра: 
1. Базовый актив
2. Тип опциона (Колл или Пут)
3. Цена страйка (цена исполнения опциона)
4. Дата экспирации (истечения) опциона

Для покупателя опциона он представляет собой право купить (опцион Колл) или продать (опцион Пут) базовый актив по цене страйка в день экспирации. Для продавца опциона он представляет собой обязанность продать (опцион Колл) или купить (опцион Пут) базовый актив по цене страйка в день экспирации. Фактически опцион представляет собой страховку от изменения цены базового актива (БА) от момента сделки до даты экспирации — в роли страховщика выступает продавец (в случае неблагоприятного изменения цены БА он выплачивает страховку покупателю опциона), а страхователем является покупатель опциона (он платит за страховку продавцу).

Как и цена страховки цена опциона полностью определяется вероятностью «страхового случая», т.е. исполнения опциона (исполнения права покупателя опциона). Основные составляющие, которые влияют эту вероятность и на цену опциона, на стоимость страховки, которую платит покупатель и получает продавец:

  • Разница между ценой страйка и ценой базового актива. Т.е. при покупке Колла, чем выше его страйк, тем он дешевле (т.к. снижается вероятность того, что на момент экспирации БА будет выше цены страйка)
  • Волатильность базового актива. Чем выше волатильность (грубо размах колебаний цены) БА, тем выше вероятность достичь страйка до экспирации.
  • Время до экспирации. Чем больше времени до экспирации опциона, тем при покупке Колла выше вероятность что за это время цена базового актива уйдёт выше страйка, соответственно цена опциона выше.
Читайте также:  Проп-трейдинг в России: принцип работы, риски, предложение Лайт-Инвест

При этом зависимость цены опциона по каждой из этих трёх составляющих нелинейная. Ставшая общепринятой формула оценки опционов с учётом этих основных факторов была выведена Фишером Блэком и Майроном Шоулзом в 1973 году. 

Формула Блэка-Шоулза имеет следующий вид (подробно можно посмотреть в Википедии):

Цена (европейского) опциона call:
image

image

image

Цена (европейского) опциона put:
image

Обозначения:
C(S,t) — текущая стоимость опциона call в момент t до истечения срока опциона (до экспирации);
S — текущая цена базового актива;
N(x) — вероятность того, что отклонение будет меньше в условиях стандартного нормального распределения (таким образом, и ограничивают область значений для функции стандартного нормального распределения);
K — цена исполнения опциона;
r — безрисковая процентная ставка;
T — t — время до истечения срока опциона;
image
 — волатильность доходности (квадратный корень из дисперсии) базового актива.

Греки опционов

Для оценки чувствительности цены опциона к цене БА, волатильности, и времени до экспирации, применяют коэффициенты, называемые Греками (коэффициенты в основном обозначаются греческими буквами, за исключением «веги»). 
Греки в модели Блэка-Шоулза вычисляются следующим образом:

1. Дельта (image
) — скорость изменения цены опциона от изменения цены БА. Для опциона Колл дельта равна image
, для опциона Пут image
. Дельта показывает текущий наклон кривой стоимости опциона в зависимости от цены БА. 

2. Гамма ( image
) — скорость изменения цены опциона от изменения Дельты (или ускорение от изменения цены БА). Гамма равна image
.

3. Вега ( image
 ) — описывает зависимость цены опциона от изменения волатильности БА: image
. Вега отражает число пунктов изменения стоимости опциона на каждый процентный пункт (1%) изменения волатильности.

4. Тета ( image
) — описывает снижение цены опциона в зависимости от времени до экспирации. Для Колла — image
, для Пута — image
.

Вышеприведенные формулы верны для общего случая, в том числе для случая опционов на акции. Для расчёта опционов на фьючерсные контракты безрисковая ставка r не применяется. Т.к. на Московской бирже торгуются опционы на фьючерсы, далее в расчётах процентную ставку не учитываем.

Реализация модели в MS Excel

Итак, реализация модели Блэка-Шоулза в Excel+VBA.

Для удобства создадим функцию для каждой переменной из модели БШ. В каждой функции будут входные переменные:

S — цена БА
X — цена страйка
d — число дней до экспирации
y — число дней в году
v — волатильность
OptionType — тип опциона «Call» или «Put» (только для расчета цены и дельты)

Запись обычной функции в VBA выглядит следующим образом:

Function НазваниеФункции(входные переменные через запятую)
… вычисления…
НазваниеФункции =… вычисления…
End Function

Такую функцию можно вызывать как из других функций, так и из листа Excel. 
Функции записываются в созданный Модуль (запускаем VBA в Excel, например нажатием Alt+F11, выбираем Insert -> Module):

Function d_1(S, X, d, y, v)

T = d / y
d_1 = (Log(S / X) + (0.5 * (v ^ 2)) * T) / (v * (T ^ 0.5))
End Function

Function d_2(S, X, d, y, v)
T = d / y
d_2 = d_1(S, X, d, y, v) — v * (T ^ 0.5)
End Function

Function Nd_1(S, X, d, y, v)
Nd_1 = Application.NormSDist(d_1(S, X, d, y, v))
End Function

Function Nd_2(S, X, d, y, v)
Nd_2 = Application.NormSDist(d_2(S, X, d, y, v))
End Function

Function N_d_1(S, X, d, y, v)
N_d_1 = Application.NormSDist(-d_1(S, X, d, y, v))
End Function

Function N_d_2(S, X, d, y, v)
N_d_2 = Application.NormSDist(-d_2(S, X, d, y, v))
End Function

Function N1d_1(S, X, d, y, v)
T = d / y
N1d_1 = 1 / (2 * Application.Pi()) ^ 0.5 * (Exp(-0.5 * d_1(S, X, d, y, v) ^ 2))
End Function

Function OptionPrice(OptionType, S, X, d, y, v)
If OptionType = «Call» Then
OptionPrice = S * Nd_1(S, X, d, y, v) — X * Nd_2(S, X, d, y, v)
ElseIf OptionType = «Put» Then
OptionPrice = X * N_d_2(S, X, d, y, v) — S * N_d_1(S, X, d, y, v)
End If
End Function

Function Delta(OptionType, S, X, d, y, v)
If OptionType = «Call» Then
Delta = Application.NormSDist(d_1(S, X, d, y, v))
ElseIf OptionType = «Put» Then
Delta = Application.NormSDist(d_1(S, X, d, y, v)) — 1
End If
End Function

Function Theta(S, X, d, y, v)
T = d / y
Theta = -((S * v * N1d_1(S, X, d, y, v)) / (2 * (T ^ 0.5))) / y
End Function

Function Gamma(S, X, d, y, v)
T = d / y
Gamma = N1d_1(S, X, d, y, v) / (S * (v * (T ^ 0.5)))
End Function

Function Vega(S, X, d, y, v)
T = d / y
Vega = (S * (T ^ 0.5) * N1d_1(S, X, d, y, v)) / 100
End Function

Готовый Excel-файл можно скачать по ссылке.

Читайте также:  Индикатор волн Эллиота: Elliott Wave Prophet

Теперь в екселевской ячейке можем вызывать любую прописанную нами функцию, например введя в ячейке =OptionPrice(«Put»;76870;90000;13;365;0.47) мы получим теоретическую цену опциона Пут при цене базового актива 76870, страйке 90000, предполагаемой волатильности 45% и за 13 дней до экспирации. 

Некоторые моменты, которые хотелось бы отметить

 

  • Полученные в нашей программе значения теорцены практически идентичны тем, что транслирует Мосбиржа, это значит что биржа в своих расчётах использует именно модель БШ.
  • На самом деле опцион (как и страховка) не имеет истинной справедливой стоимости — она для каждого своя, и зависит от того какая предполагается волатильность или например какое учитывать число дней (учитывать ли выходные, с каким весом учитывать разные дни недели, сколько дней в году использовать в формуле) и т.д.
  • Греки обладают замечательным свойством — чтобы получить значение греков для портфеля фьючерсов и опционов нужно просто сложить соответствующие греки для отдельных активов портфеля. Т.е. мы легко можем рассчитать, например, сколько нужно купить/продать базовых фьючерсов чтобы общая стоимость портфеля не изменялась при изменении цены этого фьючерса (т.н. выравнивание Дельты или дельта-хеджирование).
  • Не смотря на свою распространённость, модель БШ основана на допущении, что доходность актива имеет нормальное распределение, что на реальном рынке не выполняется никогда.

 

Формула Блэка Шоулза

Формула Блэка Шоулза, показанная на рисунке 1, учитывает следующие переменные:

1.Текущая стоимость акции.

2.Страйковая цена опциона (цена покупки/продажи акции по существующему опциону)

3.Время до даты экспирации (даты окончания срока действия опциона), выраженное в процентах от года.

4.Волатильность соответствующей опциону акции.

5.Безрисковая процентная ставка.

Формула Блэка Шоулза (для оценки кол опциона):

Формула Блэка Шоулза

Рис.1 Формула Блэка Шоулза

Где,

С = кол премиум (стоимость опциона на продажу)

S = текущая рыночная цена соответствующей опциону акции

К = страйковая цена опциона

t = время до экспирации опциона, выраженное в годовой пропорции (время до окончания существования опциона)

r = безрисковая процентная ставка

N = суммированное стандартное распространение (можно найти в таблицах стандартного распространения)

e = экспоненциальный логарифм

s = стандартное отклонение акции (волатильность)

ln = натуральный логарифм

 

Модель условно разделена на две части: первая- SN(d1), умножение текущей рыночной стоимости акции на изменение в кол премиуме в пропорции к изменению цены соответствующей акции. Эта часть формулы показывает ожидаемую пользу от покупки акции в данный момент времени. Вторая часть формулы — N(d2)Ke^(-rt) показывает текущую стоимость уплаты страйковой цены за акцию в день экспирации (модель Блэка Шоузла относится только к Европейским опционам, где право использования опциона возможно только в день экспирации). Стоимость опциона рассчитывается путем вычитания второй части уравнения от первой, как показано в формуле на рисунке 4.

 

Математика, используемая в формуле Блэка Шоулза не всегда понятна людям, не имеющим специального образования. Тем не менее, у трейдеров и инвесторов нет необходимости знать и понимать математику для того, чтобы использовать формулу Блэка Шоулза для построения моделирования их инвестиционной стратегии.

 

Опционные трейдеры чаще всего имеют доступ к автоматизированным онлайн – калькуляторам стоимости опционов и многие торговые площадки включают в себя множество инструментов для анализа. Такие инструменты как различные индикаторы, электронные таблицы и онлайн – модели автоматически рассчитывают стоимость опционов.

Модель ценообразования Блэка–Шоулза

Модель ценообразования опционов Блэка–Шоулза (англ. Black–Scholes Option Pricing Model, OPM) — это модель, которая определяет теоретическую цену на европейские опционы, подразумевающая, что если базовый актив торгуется на рынке, то цена опциона на него неявным образом уже устанавливается самим рынком.

Читайте также:  Бездепозитный бонус Instaforex: условия получения, отработка и стратегии

Формула Блэка-Шоулза

Формула Блэка-Шоулза

Данная модель получила широкое распространение на практике и, помимо всего прочего, может также использоваться для оценки всех производных бумаг, включая варранты, конвертируемые ценные бумаги, и даже для оценки собственного капитала финансово зависимых фирм.

Согласно Модели Блэка-Шоулза, ключевым элементом определения стоимости опциона является ожидаемая волатильность базового актива. В зависимости от колебания актива, цена на него возрастает или понижается, что прямопропорционально влияет на стоимость опциона. Таким образом, если известна стоимость опциона, то можно определить уровень волатильности, ожидаемой рынком.

Описание

В октябре 1997 года Нобелевская премия по экономике была присуждена Роберту Мертону (Robert Merton) и Майрону Шоулзу (Myron Scholes). Комитет по назначению лауреатов выдвинул для присуждения премии еще одного ученого, Фишера Блэка (Fisher Black), но его преждевременная смерть в 1995 г. в возрасте 57 лет помешала ему разделить эту честь.

Эти три человека считаются создателями математической формулы для вычисления стоимости опционов и других производных иструментов, которая оказала огромное влияние на развитие теории и практики финансов. Эта формула сегодня широко известна как формула Блэка-Шоулза (Black-Scholes option pricing formula).

Открытие данной формулы привело к повышенному интересу к производным инструментам и взрывному росту опционной торговли. Опубликование формулы Блэка-Шоулза в 1973 г. позволило отойти от субъективно-интуитивных оценок при определении цены опционов и подвести под него теоретическую базу, применимую и к другим производным инструментам.

Для начала 70-х сама идея использовать математический подход для оценки производных инструментов была революционна. Современное управление рисками, применяемое в страховании, торговле на фондовом рынке и инвестировании, основывается на возможности использовать математические методы для предсказания будущего.

Конечно, не со 100%-ной вероятностью, но достаточно точно для того, чтобы принять взвешенное инвестиционное решение. Основополагающий принцип работы на финансовых рынках состоит в следующем: чем больший риск вы готовы на себя принять, тем на большее вознаграждение вы вправе рассчитывать.

Использование математики никогда не сможет полностью элиминировать риск, но может помочь правильно оценить степень принимаемого на себя риска и решить вопрос о справедливом вознаграждении.

Шесть допущений теории

Чтобы вывести свою модель ценообразования опционов, Блэк и Шоулз сделали следующие предположения:

  1. По базисному активу опциона call дивиденды не выплачиваются в течение всего срока действия опциона.
  2. Нет транзакционных затрат, связанных с покупкой или продажей акции или опциона.
  3. Краткосрочная безрисковая процентная ставка известна и является постоянной в течение всего срока действия опциона.
  4. Любой покупатель ценной бумаги может получать ссуды по краткосрочной безрисковой ставке для оплаты любой части ее цены.
  5. Короткая продажа разрешается без ограничений, и при этом продавец получит немедленно всю наличную сумму за проданную без покрытия ценную бумагу по сегодняшней цене.
  6. Торговля ценными бумагами (базовым активом) ведется непрерывно, и поведение их цены подчиняется модели геометрического броуновского движения с известными параметрами.

Вывод модели основывается на концепции безрискового хеджирования.

Покупая акции и одновременно продавая опционы call на эти акции, инвестор может конструировать безрисковую позицию, где прибыли по акциям будут точно компенсировать убытки по опционам, и наоборот.

Безрисковая хеджированная позиция должна приносить доход по ставке, равной безрисковой процентной ставке, в противном случае существовала бы возможность извлечения арбитражной прибыли. Инвесторы, пытаясь получить преимущества от этой возможности, приводили бы цену опциона к равновесному уровню, который определяется моделью.

Формулы

Цена (европейского) опциона call:

Формула Блэка-Шоулза

Формула Блэка-Шоулза

Формула Блэка-Шоулза

Цена (европейского) опциона put:

Формула Блэка-Шоулза

Обозначения:

  • C(S,t) — текущая стоимость опциона call в момент t до истечения срока опциона;
  • S — текущая цена базисной акции;
  • N(x) — вероятность того, что отклонение будет меньше в условиях стандартного нормального распределения
    (таким образом, и ограничивают область значений для функции стандартного нормального распределения).

    Для определения N(x) можно использовать таблицы для стандартной нормальной кривой или Excel-функцию HOPMCTPACП(x). Она возвращает стандартное нормальное интегральное распределение, которое имеет среднее, равное нулю, и стандартное отклонение, равное единице).

  • K — цена исполнения опциона;
  • r — безрисковая процентная ставка;
  • T — t — время до истечения срока опциона (период опциона);
  • σ — волатильность (квадратный корень из дисперсии) базисной акции.
Источники

  • https://utmagazine.ru/posts/11662-modeli-cenoobrazovaniya-opcionov
  • http://loco.ru/materials/503-option
  • http://investocks.ru/model-cenoobrazovaniya-opcionov-bleka-shoulza-black-scholes-option-pricing-model/
  • http://financc.ru/investicii/formula-bleka-shoulza.html

[свернуть]
Помогла статья? Оцените её
1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд
Загрузка...