Формулы расчета процентов по вкладу: простой и сложный процент

Формулы начисления процентов.

Доходность практически любого вклада можно рассчитать самостоятельно, зная методику расчета. Для этого нужно знать параметры будущего вложения, к которым относится:

  • Депозитная сумма.
  • Ставка (в %).
  • Периодичность процентного начисления.
  • Срок размещения денег.

Простые и сложные проценты

Инвесторы, которые работают на рынке Форекс, сталкиваются с повторным вложением денег (реинвестированием) постоянно. Если банковские депозиты приносят владельцам прибыль через несколько месяцев или даже год, то на валютном рынке прибыль/убыток появляется после каждой сделки.

Поэтому все, кто интересуется инвестициями на Форексе, будут регулярно работать с простыми и сложными процентами. Давайте же разберемся, что же означают эти понятия.

Простой процент — прибыль по многоразовым вкладам за каждый период времени всегда начисляется только на первоначальную сумму.

Пример: депозит 5000$ под 20% годовых. По схеме простого процента и в первый, и во второй, и в любой другой год прибыль составит 1000$. Чтобы узнать прибыль за N лет, просто умножьте прибыль за один год на число N.

Простой процент используется в случаях, когда база начисления процентов всегда равна начальной сумме вложений. Это могут быть специальные банковские депозиты, проценты по кредиту. Также простой процент используется, когда инвестор регулярно выводит прибыль — в каждый период времени работает первоначальная сумма.

Сложный процент — проценты по многоразовым вкладам за каждый период начисляются на первоначальную сумму и всю полученную до этого прибыль.

Пример: депозит 5000$ под 20% годовых. В первый год прибыль составит 5000$ * 20% = 1000$, во второй (5000$ + 1000$) * 20% = 1200$, в третий (5000$ +1000$ + 1200$) * 20% = 1440$ и так далее.

Каждый раз, когда инвестор хочет несколько раз «прокрутить» свои деньги через инвестиционный инструмент, он сталкивается со сложным процентом. Полученная прибыль на первом круге реинвестируется и проценты уже начисляются на более крупную сумму.

В инвестициях на рынке Форекс сложный процент используется постоянно, потому что сумма вложений меняется постоянно — фактически после каждой сделки. Многие инвесторы используют тактику «вложил и забыл», оставляя полученную прибыль работать вместе со стартовым вкладом.

Разница между простыми и сложными процентами на первый взгляд кажется не такой уж большой. Но чем больше проходит времени, тем очевиднее становится преимущество сложных процентов:

Простые и сложные проценты

Простые и сложные проценты на одном графике

Конечно, это всё теория и на практике добиться 30-кратного реинвестирования прибыли совсем непросто. Но факт остаётся фактом — сложные проценты могут сослужить хорошую службу инвестору. И чтобы умело их использовать, нужно правильно их считать, в чём помогут несколько полезных формул.

Формулы сложных процентов по вкладам и примеры решения задач

Представьте, что вам нужно рассчитать прибыль от банковского вклада за несколько лет. Для этого понадобится такая информация:

  • начальная сумма вклада (K нулевая или К0)
  • ставка доходности (R) — переводится из процентов в число (10% = 0.1)
  • количество периодов реинвестирования, то есть лет (n)

А конечную сумму вклада мы назовем просто K. Её можно рассчитать по формуле:

Формула сложных процентов по вкладам

Конечная сумма при расчёте сложных процентов по вкладу

Пример задачи: Инвестор П. положил на депозит в банке 10000$ под 10% годовых. Какую прибыль он получит через 5 лет?

Для начала, давайте узнаем конечную сумму вклада по формуле:

K = 10000$ * (1 + 0.1)5 = 16105.1$

Прибыль (P) — это разница между конечной и стартовой суммой вклада. Считаем:

P = K — К0 = 16105.1$ — 10000$ = 6105.1$

Можно даже подсчитать прибыль в процентах, для этого нужно найти не разницу, а отношение между конечной и стартовой суммой:

P (%) = K/К0 — 1 = 16105.1$ / 10000$ — 1= 61.05%

Используя формулу сложных процентов, вы всегда можете предсказать результат инвестирования в будущем. Впрочем, бывают ситуации, когда вам нужно узнать не конечную, а стартовую сумму вклада. Её можно найти по той же формуле сложных процентов по вкладам, но надо немного её изменить:

Формула расчёта сложных процентов

Формула расчёта сложных процентов для поиска стартовой суммы вклада

Пример задачи: Инвестор В. хочет узнать, сколько ему надо вложить рублей под 20% годовых сейчас, чтобы через 3 года стать рублёвым миллионером. 

Используем формулу:

К0 = 1000000₽ / (1 + 0.2)3 =  578703.7₽

Кроме суммы вклада, через формулу можно найти и остальные параметры. Например, зная стартовую и конечную сумму, можно узнать процентную ставку или количество периодов реинвестирования.

Читайте также:  Что такое КПП организации (код причины постановки на учет): подробная расшифровка, что означает, меняется ли при смене юридического адреса

Начнем с процентной ставки:Формула расчёта сложных процентов по вкладу

Формула расчёта сложных процентов по вкладу для поиска нужной процентной ставки

Пример задачи: Инвестор Р. хочет выяснить, вклад с какой процентной ставкой ему нужен, чтобы заработать 10000$ за 3 года, изначально вложив 20000$.

Для начала нужно посчитать конечную сумму, так как мы знаем только прибыль:

K = К0 + P = 20000$ + 10000$ = 30000$

А теперь можно использовать формулу:

R = (30000$ / 20000$) ^ 1/3 — 1 = 14.47%

Чтобы получить такую доходность, банковский депозит не подойдёт, а вот консервативный ПАММ-счёт — вполне.

Напоследок давайте выясним, как рассчитать, на какой срок нужно положить деньги, чтобы получить нужную нам прибыль. Без логарифмов не обойтись:

Расчёт сложных процентов по вкладу

Расчёт сложных процентов по вкладу — поиск нужного количества периодов реинвестирования

Пример задачи: сколько лет нужно держать деньги на депозите в банке под 25% годовых, чтобы 50000 рублей превратить в 100000?

Подставляем в формулу:

n = log1+0.25 100000/50000 = 3.11 лет

Кстати, если речь идёт о банке, то 3.11 лет округляются до 4 — вы обычно не можете снять свои деньги до окончания периода действия вклада. Условия конкретного инвестиционного инструмента всегда стоит учитывать при решении подобных задач.

Кроме рассмотренных нами задач существуют и более сложные. Например, довольно распространённая история — у инвестора есть вклад с возможностью пополнения. Часть каждой зарплаты отправляется туда и надо выяснить, какой же будет результат по итогам.

Пример задачи: Инвестор З. вложил 1000$ и откладывает 50$ каждый месяц. Процентная ставка — 1% в месяц. Какая сумма накопится через 5 лет?

Чтобы узнать результат, нужно создать табличку:

Формула сложных процентов по вкладам

Расчёт результатов инвестирования с доливками, с учётом сложных процентов

В первый месяц сумма инвестиций составила 1000$, на неё начислен 1% — итого 1010$. Во второй месяц работают уже 1010$ и еще 50$, которые инвестор внёс дополнительно. Итого — 1070.10. И так далее…

Разумеется, считать эти таблички каждый раз — довольно напряжно, решать логарифмы — тем более. Поэтому специально для вас при помощи программы Microsoft Excel я сделал небольшой файлик для решения задач по сложным процентам.

Понятие простых процентов и как они рассчитываются

/uploads/ec18e647049294efe3c4b22295c89279.jpeg
Простые проценты – это проценты, начисляющиеся лишь на первоначальную величину вклада, независимо от количества
периодов и их продолжительности. Они считаются один раз по окончанию срока депозита.
Это обозначает, что сумма процентов за предыдущий период не учитывается при
расчете в следующем. 

Метод расчета
простых процентов основан на принципе наращения денег по арифметической
прогрессии. Допустим, инвестор в начале года положил в банк депозит на сумму
100 000 руб. под 10% годовых:

  • через
    год он получит сумму, равную первоначально внесенным деньгам плюс начисленные
    проценты: 100 000 + 10 000 (чтобы высчитать процент нужно сумму
    вклада умножить на ставку и разделить на 100) = 110 000 (руб.);
  • через
    2 года сумма составит: 100 000 + (10 000 х 2) = 120 000 (руб.);
  • через
    N лет вкладчик получит: 100 000 + (10 000 х N).

Поскольку
банки указывают ставку за год, то чтобы определить доход за другой период
(к примеру, 3 месяца), применяя простую
ставку процентов, формула будет такой:

S = (P x I x Т / K) / 100, где:

S–
сумма насчитанных процентов (руб.);

P– начальная
сумма вложенных средств;

I–
процентная ставка за год;

Т – срок действия вклада в днях;

K– число
дней в году.


То есть при вкладе 100 000 руб. на 3 месяца под 10%
годовыхвычисление простых процентовбудет выполняться так:

(100 000 х 10 х 92 / 365) / 100 = 2520,55 (руб.).

Получается, что в конце срока вкладчик получит на руки внесенные
100 000 руб. плюс 2520,55 руб. дохода, т.е. 102 520,55 руб.

Как рассчитать сложный процент по вкладу

В
отличие от простой ставки процентов,
сложная начисляется на постоянно растущую основу с учетом процентов, которые
начислены за предыдущие периоды. Иными словами проценты, полученные за
определенный период (неделю, месяц, квартал год) прибавляются к начальной сумме
вклада (капитализируются). А в следующем периоде они начисляются уже на всю эту
сумму вместе, и так каждую неделю, месяц или квартал.

Выходит,
что в отличие от модели простых
процентов, основа для начисления сложных будет расти с каждым новым периодом.
Ведь главная суть расчетов состоит в том, что выполняется начисление процентов
на процент.

Если
метод простых процентов основывается
на арифметической прогрессии, то сложных – на геометрической. Формула их расчета выглядит таким образом:

S = (PxIxJ / K) / 100, где:

S–
сумма насчитанных процентов (руб.);

Читайте также:  Линия кредитная — это

P– начальная сумма вложенных денег;

I–
процентная ставка за год;

J– период,
за который проводится капитализация (дней);

K– число
дней в году.


Например, при первоначальном вкладе 100 000 руб. под 10%
с учетом ежемесячной капитализации за первый месяц (допустим, март) вкладчик
получит:

  • (100 000 х 10
    х 31 / 365) / 100 = 849,32 (руб.);
  • после эта сумма добавляется
    к начальному вкладу (происходит капитализация): 100 000 + 849,32 = 100 849,32 (руб.);
  • аналогичным
    способом высчитывается доход за апрель: (100 849,32 х 10 х 30 /365) / 100
    = 828,90 (руб.);
  • после чего опять
    производится ежемесячная капитализация: 100 849,32 + 828,90 = 101 678,22
    (руб.);
  • далее – за май:
    (101 678,22 х 10 х 31 /365) / 100 = 863,57 (руб.);
  • после очередной
    капитализации у вкладчика на счете получается сумма: 101 678,22 + 863,57 =
    102 541,79 (руб.);
  • и так до конца
    срока депозита.

Чтобы увидеть эффект метода сложных процентов, нужно сравнить полученную сумму (102 541,79 руб.) с суммой, определенной путем расчета простых
процентов(102 520,55 руб.) при тех же условиях
(100 000 руб. под 10% на 3 месяца).

Получается, что во втором случае величина прибыли немного
больше. При этом существует прямая зависимость: чем больше срок вклада, тем
больше разница в доходах, рассчитанных разными способами.

В каких случаях используется начисление простых и сложных процентов?


Формула простых процентов по вкладам применяется,
когда полученные проценты плюсуются к телу депозита лишь в конце периода или
совсем не прибавляются, а переводятся на другой счет. Формулу сложных процентов
используют, когда проценты насчитываются через равные временные промежутки
(месяц, квартал, год). Это означает проведение капитализации процентов (когда
проценты насчитываются на проценты).

Простые проценты используются в случаях оформления краткосрочных вкладов, период действия которых, в основном, меньше года. Метод
сложных процентов применяется при долгосрочных вкладах, которые открываются на
срок больше года.

Сравнение методов сложных и простых процентов

Хранение
денег в банке с целью увеличения собственных накоплений называется наращением.
Даже при самом упрощенном примере начисление процентов происходит один раз в
год. Поэтому через год вкладчик закрывает депозит и забирает всю сумму плюс
начисленные проценты.

Наращение по простым процентам определяется
согласно формуле:

S = P (1 + ni), где:

P – начальная сумма вложенных денег;

n – количество этапов начисления процентов;

i – процентная ставка.

Величина
(1 + ni) на языке финансистов называется множитель наращения простых процентов.
Она показывает, во сколько раз наращенная сумма превышает изначальную.

Наращенную
величину можно также представить в виде суммы:

S = P+ I, где:

P – первоначальная сумма вложенных денег;

I = Pni – сумма
процентов.

Пример. Положив
депозит в сумме 200 000 руб. под 12% годовых на полгода, клиент получает такую
сумму процентов:

I = Pni =
200 000х0,5х0,12 = 12 000 (руб.);

и
наращенную величину:

S = P+ I = 200 000+12 000 = 212 000 (руб.).

Величина, обратная наращению, называется дисконтирование
по простым процентам. Она определяет сегодняшнюю стоимость будущей денежной
суммы. Этот показатель дает возможность определить, сколько сегодня будут стоить
средства, которые получит вкладчик в будущем. 

Ставка дисконтирования,
которая используется в расчетах, учитывает такие риски, как инфляция, изменение
ставки или нормы доходности. У банков, имеющих высокую степень надежности, таких,
как Сбербанк, ставка дисконтирования находится в пределах процентной
ставки.


В
отличие от начисления простых процентов, формула наращения по сложным процентам представляется так:

S = P (1 + i/ny)nd, где:

P – первоначальная сумма вложенных денег;

i – процентная ставка;

ny – количество циклов капитализации на протяжении
года;

nd– количество циклов капитализации за все
время депозита.

Здесь
множителем наращения является выражение (1 + i/ny)nd, а сам метод
основан на законе геометрической прогрессии.

Пример. При вложении 200 000 руб. с ежеквартальной капитализацией на
полгода наращенная сумма вклада составит:

S = P (1 + i/ny)nd= 200 000 (1+0,12/4)2
= 200 000х1,032 = 200 000х1,0609 = 212 180 (руб.).

Если
этот же пример рассчитать с учетом ежемесячной капитализации, получится:

S = P (1 + i/ny)nd= 200 000 (1+0,12/12)6
= 200 000х1,016 = 200 000х1,0615 = 212 300 (руб.).

Простая и сложная ставка процентов: какие вклады выгоднее?

Из
описанных примеров становится понятно: чем больше множитель наращения, на
который будет умножаться сумма депозита, тем больше получится наращенный доход по вкладу.

Чтобы более наглядно продемонстрировать разницу по использованию простой схемы начисления процентов и сложной, данные занесены в
таблицу:

При подсчете коэффициентов
использовалась ежегодная капитализация процентов. Из таблицы видно, что:

  • если срок вклада меньше
    года, то множитель, рассчитанный по формуле
    простых процентов, получается больше. Это даст возможность вкладчику
    получить больший доход, чем при использовании сложных процентов;
  • когда период вклада составляет 1 год –
    величина коэффициентов сравнивается и является одинаковой. Это говорит о том, что доход с ежегодной капитализацией при начислении по простым процентам и сложным будет равный;
  • если срок депозита более года, то коэффициент наращения по сложным процентам выше, чем при использовании обыкновенного простого процента.
Читайте также:  Что такое микрофинансовая компания и чем она отличается от МФО


Составив аналогичную таблицу
с учетом проведения ежеквартальной капитализации, можно увидеть, что доход
будет одинаков при вкладе на квартал. При более коротких депозитах (на месяц
или два) больший доход будет получаться по простым процентам. При вкладах на
срок более квартала, наоборот, выгоднее будут сложные проценты.

Этот принцип определения
доходности вклада зависимо от метода вычисления процентов сохраняется и при
расчетах на месяц. Подведя итог, можно сказать, что применение сложного
процента выгодно, если период вклада превышает период капитализации. Иначе говоря:

  • при ежегодной капитализации оформление депозита выгодно, если срок его действия больше года;
  • с применением ежеквартальной капитализации сложные проценты будут выгодными только тогда, когда срок действия депозита больше 3 месяцев;

Если срок депозита меньше, чем периодичность проведения капитализации, то расчет простых процентов
по вкладам получится выгоднее.  

Формула простых процентов

Формула простых процентов применяется, если начисляемые на вклад проценты причисляются к вкладу только в конце срока депозита или вообще не причисляются, а переводятся на отдельный счет, т.е. расчет простых процентов не предусматривает капитализации процентов.

При выборе вида вклада, на порядок начисления процентов стоит обращать внимание. Когда сумма вклада и срок размещения значительные, а банком применяется формула простых процентов, это приводит к занижению суммы процентного дохода вкладчика. Формула простых процентов по вкладам выглядит так:
Формула простых процентов (2307 bytes)

Формула простых процентов
Значение символов:
S — сумма денежных средств, причитающихся к возврату вкладчику по окончании срока депозита. Она состоит из первоначальной суммы размещенных денежных средств, плюс начисленные проценты.
I – годовая процентная ставка
t – количество дней начисления процентов по привлеченному вкладу
K – количество дней в календарном году (365 или 366)
P – первоначальная сумма привлеченных в депозит денежных средств
Sp – сумма процентов (доходов).

А чтобы рассчитать только сумму простых процентов формула будет выглядеть так:
Формула суммы простых процентов (1853 bytes)

Формула суммы простых процентов
Значение символов:
Sp – сумма процентов (доходов).
I – годовая процентная ставка
t – количество дней начисления процентов по привлеченному вкладу
K – количество дней в календарном году (365 или 366)
P – сумма привлеченных в депозит денежных средств.

Приведу условные примеры расчета простых процентов и суммы банковского депозита с простыми процентами:

Пример 1. Предположим, что банком принят депозит в сумме 50000 рублей на срок 30 дней. Фиксированная процентная ставка – 10,5 % «годовых». Применяя формулы, получаем следующие результаты:

S = 50000 + 50000 * 10,5 * 30 / 365 / 100 = 50431,51

Sp = 50000 * 10,5 * 30 / 365 / 100 = 431,51

Пример 2. Банком принят депозит в той же сумме 50000 рублей сроком на 3 месяца (90 дней) по фиксированной ставке 10,5 процентов «годовых». В условиях поменялся только срок вложения.

S = 50000 + 50000 * 10,5 * 90 / 365 / 100 = 51294,52

Sp = 50000 * 10,5 * 90 / 365 / 100 = 1294,52

При сравнении двух примеров видно, что сумма ежемесячно начисленных процентов по формуле простых процентов не меняется.

431,51 * 3 месяца = 1294,52 рубля.

Пример 3. Банком принят депозит в сумме 50000 рублей сроком на 3 месяца (90 дней) по фиксированной ставке 10,5 процентов «годовых». Вклад пополняемый, и на 61 день произведено пополнение вклада в сумме 10000 рублей.

S1 =50000 + 50000 * 10,5 * 60 / 365 / 100 = 50863.01
Sp1 = 50000 * 10,5 * 60 / 365 / 100 = 863.01

S2 = 60000 + 60000 * 10,5 * 30 / 365 / 100 = 60517.81
Sp2 = 60000 * 10,5 * 30 / 365 / 100 = 517.81

Sp = Sp1 + Sp2 = 50000 * 10,5 * 60 / 365 / 100 + 60000 * 10,5 * 30 / 365 / 100 = 863,01 + 517,81 = 1380,82

Пример 4. Банком принят депозит в той же сумме 50000 рублей сроком на 3 месяца (90 дней), по плавающей ставке. На первый месяц (30 дней) процентная ставка – 10,5 %, на последующие 2 месяца (60 дней) процентная ставка – 12 %.

S1 = 50000 + 50000 * 10,5 * 30 / 365 / 100 = 50000 + 431,51 = 50431.51
Sp1 = 50000 * 10,5 * 30 / 365 / 100 = 431,51

S2 = 50000 + 50000 * 12 * 60 / 365 / 100 = 50000 + 986,3 = 50986.3
Sp2 = 50000 * 12 * 60 / 365 / 100 = 986,3

Sp = 50000 * 10,5 * 30 / 365 / 100 + 50000 * 12 * 60 / 365 / 100 = 431,51 + 986,3 = 1417,81

Источники

  • https://investor100.ru/formuly-rascheta-procentov-po-vkladu/
  • https://webinvestor.pro/prostye-i-slozhnye-procenty/
  • https://cbkg.ru/articles/prostye_i_slozhnye_procenty_po_vkladam.html
  • https://bankirsha.com/formula-calculate-of-interest-on-deposit.html

[свернуть]
Помогла статья? Оцените её
1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд
Загрузка...